Me lo susurró mientras dormía: La conjetura de la pizza

No se trata del título de un episodio de "The Big Bang Theory". Me estoy refiriendo a la forma matemática que existe para partir una pizza y que cada persona coma la misma cantidad. De esta manera dos personas pueden tomarse la mitad de la pizza. Siempre que todos los cortes se crucen en un punto, ¡podemos repartir la pizza sin problemas!

Imaginemos que tú y yo queremos cenar una pizza. Llamamos y a los quince minutos tenemos la pizza en casa. Pero al abrir la caja nos damos cuenta de que no está partida correctamente. Lo ideal hubiera sido que uno de los cortes pasara por el centro, como la pizza de abajo a la izquierda:

Así, cada uno podría comerse la mitad de la pizza sin problemas. Incluso, si los ángulos de los cortes son simétricos, podemos elegir trozos alternos y seguiríamos comiendo la misma cantidad de pizza, como se muestra en la imagen de la derecha.. Siempre que uno de los cortes pasa por el centro, podemos comer la mitad de la pizza escogiendo trozos alternos.

Hasta aquí bien, pero en la pizza que hemos encargado no hay ningún corte que pase por el centro. ¿Cómo saber entonces dónde está la mitad de la pizza? Pues Paul Deiermann y Rick Mabry, dos matemáticos, han publicado en una revista cómo organizar el reparto. Y saber quién va a comer más depende del número de cortes.

Nuestra pizza es más o menos como la de la izquierda. Pero como parece que tienes hambre, es probable que la parte que está en azul me toque a mí y tu te comas el resto. A ti te tocaría más de la mitad. Pero si repartimos los trozos como en la pizza de la derecha, los dos comeremos los mismo.

Lo que ocurre es que cuando el número de cortes es par (en nuestra pizza hay 4 cortes), aunque no pase ningún corte por el centro, si elegimos los trozos alternos siempre comeremos la mitad de la pizza. (Hay que dejar claro que los ángulos de los cortes tienen que ser todos iguales; en nuestra pizza, si te fijas, todos son de 45º)

Y cuando el número de cortes es impar pasa algo distinto. Hasta ahora sólo se sabía qué pasaba con un número de cortes pares, ya lo habían estudiado en 1968, pero ahora el problema tiene solución. Según el número de cortes impares:

Si es un impar del tipo 4n-1, es decir, los números 3, 7, 11, 15, 19, 23... y se reparten los trozos de forma alternativa, comerá más pizza el que elija el trozo que contenga el centro de la pizza.
Pero si es un impar del tipo 4n+1, es decir, los números 5, 9, 13, 17, 21... y se reparten como antes, esta vez como menos pizza el que elige el trozo que contiene el centro, y como normalmente el trozo con el centro es el más grande... ¡parece que comes más pizza pero estás comiendo menos!

Así que si te encuentras con una pizza en la que ningún corte pasa por el centro recuerda que:

Si tiene un número par de cortes y los repartes alternadamente, comerás justo la mitad. Como la de la izquierda, que tiene 8 cortes (16 trozos), o la de la derecha, con 6 cortes (y con 12 trozos).

Si tiene 5, 9 13... (4n-1) cortes, comerá más el que elija el trozo con el centro. Como por ejemplo esta pizza, con 5 cortes (y 10 trozos)

Y si tiene 3, 7, 11... (4n+1) cortes comerá menos el que escoja el trozo con el centro. Como la de la izquierda con 7 cortes (y 14 trozos) o como la de la derecha con 3 cortes (y 6 trozos). Entonces podéis haceros los buenos y ofrecer el trozo grande sabiendo que vosotros vais a comer más.